这篇要学会什么
对实数方程√(x+6)=x，平方得到候选3和-2，但原方程要求右侧非负，代回后只有3成立。平方可能丢失符号信息；在清楚满足两边非负等条件的受限域内可以使用相应等价关系，不能省略条件直接保留全部候选。
主平方根与方程的两个根不是一回事
√9表示非负的主平方根3；方程x²=9的解则是3和-3。这两个句子的对象不同。若把√9直接写成±3，会在后续方程里主动加入一个原本没有的符号选择。
OpenStax的根式方程章节说明，使用偶次幂消去根式可能引入不满足原方程的解，并要求回到原式核查。下面的例题与变式由编辑编写，用来练习这一逻辑，不是学习效果实验。
把三个对象分别命名
定义域
哪些x让原表达式有意义。
候选解
满足变形后方程、仍需筛选的数。
原方程的解
有定义并且让原等式两边相等的数。
完整解题：√(x+6)=x
先要求x+6≥0，即x≥-6。又因为左侧平方根非负，原方程若成立还必须x≥0。合起来可保留x≥0作为本题候选的必要条件。
两边平方得到x+6=x²，移项为x²-x-6=0，分解为(x-3)(x+2)=0，因此得到候选x=3和x=-2。注意此处说“候选”，还没有把两个数都宣布为原题答案。
| 步骤 | 写出的内容 | 为什么这样做 |
|---|---|---|
| 定义 | x≥-6 | 让根号内非负 |
| 符号 | x≥0 | 与非负的左侧相等 |
| 平方 | x+6=x² | 消去根式，但保留符号条件 |
| 求候选 | x=3或x=-2 | 解平方后的二次方程 |
| 回原式 | 只保留x=3 | 检查原来的等号 |
为什么-2能过平方式，却过不了原式？
把3代入原方程，左侧√9=3，右侧3，相等。把-2代入，左侧√4=2，右侧-2，不相等；但它在平方式中给4=4。因此，-2确实解决了变形后的方程，却没有解决原问题。
这也解释了为什么不能只把答案代回平方后的式子。那只是在确认候选生成步骤，没有检查丢掉的符号信息是否仍然满足。
| 候选x | 原式左边 | 原式右边 | 结论 |
|---|---|---|---|
| 3 | √9=3 | 3 | 保留 |
| -2 | √4=2 | -2 | 舍去 |
找出第一个不成立的推理
平方式有两个根，所以原方程的解就是3和-2。
平方式提供两个候选；原方程的非负条件与直接代回排除-2。
把右侧改成-x，候选相同，答案为什么变了？
现在考虑√(x+6)=-x。根号仍要求x≥-6，但右侧非负变为x≤0。平方后仍是x+6=x²，候选仍为3、-2。
代回新原式：x=-2时左侧2，右侧2，成立；x=3时左侧3，右侧-3，不成立。所以新题只有-2。两题的平方式相同，不代表原式的解相同；差别正是被平方藏起来的符号。
Original task: sqrt(x + 6) = x
Variant: sqrt(x + 6) = -x
For each, write the domain, the sign condition on the right side,
the candidates after squaring, and a substitution into the original equation.
Explain why identical squared equations do not force identical solution sets.复习时记录“哪里失去反向推理”
不要只在错题本里写“忘记验根”。写清原式的定义条件、两边符号、变形方向，以及哪个候选在哪一条原条件上失败。下一次先讲理由，再看完整解答；如果只能背出3而无法解释-2为何失败，说明这一步仍需复习。
这与逆命题和逆否命题的区别一样，需要分清推理方向。可沿用逐步自我解释的记录方式，每一行附一个理由，而不是重复抄写整页答案。
一道根式方程真正完成的条件
- 原表达式的实数定义条件写出。
- 主平方根的非负含义没有变成±。
- 平方后的根被称为候选，并保留所需条件。
- 每个保留或舍去的数都有原式依据。
- 遇到改变符号的变式，能重新判断而非照抄旧答案。
常见问题
已经先写x≥0，还必须把3代回吗？
在严格保留等价条件并正确计算的推导中，可以用这些条件说明筛选；对学习与交付检查，直接代回原式仍是清楚、便于发现计算错误的复核方式。
平方一定会产生增根吗？
不一定。它可能引入额外候选，是否真的出现要看题目和条件。不能把“可能”改写成每次必然发生。
为什么不能说√9=±3？
根号符号在这里表示主平方根，值是3；±3是方程x²=9的两个解。表达式的值与方程的解集要分开。
