这篇要学会什么
对p→q，逆命题是q→p，否命题是非p→非q，逆否命题是非q→非p。原命题与逆否命题逻辑等价；逆命题并不因为原命题成立就自动成立。要判断是否等价，需要比较所有真值情形。
先把p与q固定，别在中间换了含义
本例的讨论范围是正整数。设p为“n是4的倍数”，q为“n是偶数”。OpenStax等价命题章节给出逆命题、否命题、逆否命题的形式及其等价关系；下面的整数练习由编辑另行设计。
原命题可证明：若n=4k，则n=2(2k)，所以n是偶数。这里给出的是适用于所有该范围数值的理由，不是只列4、8、12几个例子就宣布成立。
| 名称 | 形式 | 本例的句子 |
|---|---|---|
| 原命题 | p→q | 是4的倍数，就一定是偶数 |
| 逆命题 | q→p | 是偶数，就一定是4的倍数 |
| 否命题 | 非p→非q | 不是4的倍数，就一定不是偶数 |
| 逆否命题 | 非q→非p | 不是偶数，就一定不是4的倍数 |
数字6为什么能一次指出两种错误
n=6时，q为真而p为假。因此“是偶数→是4的倍数”有一个前提真、结论假的情形，逆命题为假。对否命题来说，“不是4的倍数”为真，“不是偶数”为假，所以同一个6也能推翻否命题。
这个反例不会推翻原命题，因为6没有满足原命题的前提。证明“所有满足p的对象也满足q”失败，需要找到p真而q假的对象；不能拿不满足p的对象当作直接反证。更多量词范围可见一个反例能推翻什么。
反例必须让目标句子前提真、结论假
6不是4的倍数，于是认为它推翻“4的倍数都是偶数”。
6是偶数但不是4的倍数，所以它推翻的是逆命题。
四行情形解释为什么原命题等价于逆否命题
材料蕴含p→q只有在p真、q假时为假。逆否命题非q→非p也恰好在这一行是假，所以两列在全部情形一致。逆命题在p假、q真时为假，与原命题的列不一致。
下表是抽象逻辑的完整真值情形，而不是声称本例里每行都能找到正整数。事实上，原命题已经证明成立，所以“4的倍数却不是偶数”这行在本例不会出现。区分抽象规则与具体对象，才能避免把真值表误读成数据表。
| p,q | p→q | 非q→非p | q→p |
|---|---|---|---|
| T,T | T | T | T |
| T,F | F | F | T |
| F,T | T | T | F |
| F,F | T | T | T |
用逆否形式证明，方向仍要保持一致
若n不是偶数，却假设它是4的倍数，那么n=4k=2(2k)，又会是偶数，产生矛盾，因此它不可能是4的倍数。逆否形式保留了原命题的约束关系，没有把充分条件改成必要条件。
把原句读成“是4的倍数足以保证是偶数”有助于记忆，但术语不是替代推理的口诀。若你只记“否定一下就等价”，就可能写成非p→非q，恰好漏掉交换前后这一步。
迁移练习：把4和2换成6和3
现在仍在正整数范围，原命题是“如果n是6的倍数，那么n是3的倍数”。先合上答案，写出三种变形，再判断哪些与原命题等价，并为错误的变形找一个反例。
参考答案：逆命题是“3的倍数→6的倍数”，n=9可反驳；否命题是“非6的倍数→非3的倍数”，9也可反驳；逆否命题是“非3的倍数→非6的倍数”，与原命题等价。原命题的理由是6k=3(2k)。这道题只改数值，检验的是是否保留了同一结构。
复习时把错误归到哪一类
交换错误
把逆命题当作原命题，回到p与q的方向。
否定错误
只加否定而没有交换，检查非q→非p。
反例错误
对象没有满足目标前提，重新标记该句子的真假。
错题记录要写第一个变形错误
不要只抄一句“逆否命题等价”。记录原句、p与q、你写的变形、第一处交换或否定错误，以及能检验它的对象。后续练习可按例子、反例与边界条件增加不同结构，而不是永远只做整除题。
本文处理命题逻辑里的条件表达，不把日常语言中的原因、承诺或统计规律一概当成材料蕴含。遇到“通常”“可能”“只有部分”的句子，先明确它的量词与语境，再决定能否使用同样变形。
自己讲清楚才算完成
- p、q与讨论范围从头到尾一致。
- 能正确写出逆、否、逆否三种形式。
- 反例能让被反驳句子的前提真、结论假。
- 能解释整列真值一致，而不只记一个对的例子。
常见问题
逆命题有时也是真的，是否就与原命题等价？
某个具体例子里都真，不足以证明两个形式逻辑等价。若某一关系双向都成立，可以另证充要条件；一般形式仍要比较全部真值情形。
前提不成立时，为什么条件命题不是直接判假？
在材料蕴含的真值定义里，只有前提真而结论假才为假。它表达的是不能出现哪一种组合，不是在判断前提实际发生了多少次。
能用几个符合的整数证明原命题吗？
有限例子可以帮助理解，但不能证明正整数范围的全称命题。本例通过n=4k=2(2k)给出普遍理由。
