不等式什么时候要变号？把除负数与边界代回放在一起检查

看运算，不是看有没有负号

同加一个数和同乘一个负数，对数轴顺序做的是不同事情。用两个自己能算的数比较：1<4，两边加−2后是−1<2，顺序没有反；两边乘−2后是−2>−8，顺序才反过来。

OpenStax的不等式性质区分加法与乘法的影响，也适用于≤和≥。因此“式子里有负号就变号”不是规则；必须说清两边是否真的同乘或同除了已知负数。负指数又是另一件事，可参照底数、括号与负指数的区分。

完整例题：在除以−3的那一行反向

以下数值、两条路线与练习均由编辑设计，讨论实数x，不是学生效果测试。解−3(x−2)≥12时，先把括号展开为−3x+6。括号内的−2也要乘到−3，得到+6；这一步只是改写同一表达式，不是把两边都乘了−3。

然后两边都减6，得到−3x≥6，方向保留。最后两边除以已知负数−3，才得到x≤−2。把每行的操作写在旁边，比在看到负号时凭感觉改符号更容易核对。

换一条只除正数的路线，答案仍须一致

不想在最后除负数，也可以先把含x的项移到右侧，但必须写成两边相同的加减。它不是一种免检查的口诀，而是对同一道题采用另一串等价步骤。

从−3x+6≥12开始，两边加3x得到6≥12+3x；两边减12得到−6≥3x；两边除以正数3，得到−2≥x。最后把这句改写成x≤−2：比较对象交换位置，符号写向也随之交换，表达的仍是同一句“小于等于”。这不是又做了一次数值乘除。

代回边界和两侧：抓出反向错误

原题允许等于，因此−2必须包含。解集为x≤−2，区间写作(−∞,−2]；在数轴上是−2处实心点并向左延伸。无穷不是可以被取到的端点。

下面检查原始左侧−3(x−2)，不要只代回已经可能写错的最后一行。左侧点、边界点、右侧点能帮助定位方向和等号错误；它们不能穷尽全部实数。说明整个范围成立的依据，仍是前面的等价推导。

改动条件后，先判断哪一条规则变了

先独立解下面三题，并注明操作、完整范围和边界是否包含，再看答案。A题只出现负数而没有除负数；B题把≥改成>；C题要求对三段同时操作。它们分别检查你是否过度变向、漏掉严格性或只改了一个比较符号。

在实数范围内求解，并写出每一步两边做的运算。
A. x−5 < −2
B. −3(x−2) > 12
C. −4 < −2x ≤ 6
每题至少检查一个边界值，解释它为什么包含或排除。

除数含字母时，先知道它的符号

已知负数规则不能在符号未知时直接套。以另一个自编式ax≥6为例：a>0时，x≥6/a；a<0时，x≤6/a；a=0时，原式变成0≥6，为假，没有解。三种条件必须先分开，不能先除以a，再事后补一句“也许要变号”。

这里仅说明固定系数符号的重要性，不把它扩展成所有含变量分母或二次不等式的通用解法。记错时，用找到第一个错误步骤的记录方法保留原题、实际操作、出错行、完整解集和一次改条件重做。复习目标是能解释为什么反向，本文没有测量任何学习提升。