二次方程为什么没有实根？用配方分清无解、重根与两个根

核心要点

实数范围内，平方不可能等于负数。把二次方程配成平方等于一个数，就能解释为什么分别没有实根、只有一个不同实根或有两个不同实根，而不必只背判别式结论。

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OpenStax的二次函数说明把抛物线、零点和横轴交点联系起来。这里限定ax²+bx+c=0且a≠0，解属于实数。若a=0，就应回到一次方程或其他情形，不能继续套二次方程分类。

“没有实根”不等于任何数域中都没有解。本文不展开复数；做题前把数域写清，能够避免把不同课程阶段的回答当成相互矛盾。

x²+4x=(x+2)²-4，所以常数项分别为5、4、3时，原方程依次等价为平方等于-1、0、1。这里每一步是恒等变形，不能只在左边加4而忘记右边也要保持等式。

第一题没有实数的平方能等于-1，因此无实根；第二题只有x+2=0，得到-2；第三题必须同时考虑x+2=1与x+2=-1，分别得到-1与-3。漏写负号分支会丢掉一个解。

用b²-4ac复核三题分别为-4、0、4，就能把熟悉的判别式分类与刚才的平方理由对应起来。重根的代数重数与不同解的个数应分开表述，不能因为公式出现“±0”就列出两个不同的-2。

第三题代入-3得到9-12+3=0，代入-1得到1-4+3=0；第二题代入-2得到4-8+4=0。第一题不能只用几个试算值证明无解，证明来自(x+2)²+1始终至少为1。

定义域导致候选被排除的另一类问题，见有理方程约分后的空点和对数方程的原始定义域。本题不是约分制造无效根，而是实数平方的取值范围决定交点数量。

独立练习：把三题的4x改成6x，并选择常数10、9、8。应得到(x+3)²=-1、0、1，对应空集、{-3}、{-4,-2}。能自己解释三个数量并逐个代回，才说明掌握了方法。

如果把三题改成a=0的形式，应先识别它已经不是二次方程；如果课程改为复数范围，则要另行讨论。检查数域和最高次项，先于计算判别式或枚举根的数量。