这篇要学会什么
五人中选两名无角色代表时，AB与BA是同一小组，5×4除以2!=2得到10组。主持与记录则有角色区别，交换就改变结果，应保留20。三人无角色小组要除以3!=6，不能继续只除以2。
先定义结果，再判断顺序
OpenStax计数原理区分乘法、排列与组合。下面的人名标记、清单和变式均为编辑自编练习，不是学习效果实验。
候选人为A、B、C、D、E，五人身份不同，每人最多入选一次。第一项任务选两名同等角色代表；第二项选主持和记录各一人，不能兼任。不能只凭出现“选择”这个动词就决定用组合。
开始前的三个问题
身份
候选人是否互不相同？同名不自动视为同一人。
角色
交换已选者的位置，是否改变任务结果？
重复
同一个人能否再次出现？本例不允许。
把十个无角色小组全部列出
A与后面的B、C、D、E配成AB、AC、AD、AE四组。B只与C、D、E配对，得到BC、BD、BE三组；C得到CD、CE两组，D得到DE一组。4+3+2+1=10。
这种列举约定只是避免重复，不表示A更重要。AB与BA包含同样两人，任务没有角色差别，所以属于同一结果。用完整清单可以逐对检查漏项和重复。
| 起始 | 新增小组 | 数量 |
|---|---|---|
| A | AB、AC、AD、AE | 4 |
| B | BC、BD、BE | 3 |
| C | CD、CE | 2 |
| D | DE | 1 |
| 合计 | 所有无角色二人小组 | 10 |
二十种何时才是正确答案
主持有5种选择，选定后记录有4种，5×4=20。主持A记录B与主持B记录A是不同分工，不能把它们合并。
如果用两个编号位置列举无角色小组，每个结果都以AB、BA两种顺序出现。所以除以2是在移除同一个结果的重复描述，不是把可用人数减半。
同样的两人，不同的结果对象
因为主持和记录来自同一个名单，就把交换角色的两种分配也合并成一组。
检查交换是否改变结果：A主持B记录与B主持A记录不同，角色任务应保留20种。
| 任务 | AB与BA | 结果 |
|---|---|---|
| 两名同等角色代表 | 同一小组 | 5×4÷2=10 |
| 主持和记录各一名 | 不同分工 | 5×4=20 |
三人小组为什么不仍然除以二
从五人选三名无角色代表，先按三个位置数得到5×4×3=60。同一个ABC小组有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA六种描述，每组被数了3!=6次，因此60÷6=10。
这个10与二人题相同，但重数理由不同。若三人分别是主持、记录、计时，六种角色分配都不同，保留60。不能因为看过10这个答案就照抄。
Candidates: A, B, C, D, E; no repeated selection.
1. Choose two equal-role representatives.
2. Choose a chair and a recorder.
3. Choose three equal-role representatives.
4. Choose a chair, a recorder and a timekeeper.
For each, explain whether swapping people changes the outcome and how many ordered descriptions represent one result.| 对象 | 位置计数 | 每个结果的重复写法 | 最终数量 |
|---|---|---|---|
| 二人无角色 | 20 | 2!=2 | 10 |
| 二人有角色 | 20 | 1 | 20 |
| 三人无角色 | 60 | 3!=6 | 10 |
| 三人有角色 | 60 | 1 | 60 |
错题记录写理由，不只写公式
标出第一次把不同对象合并、或把同一对象重复保留的位置。回到AB与BA及ABC的六种写法解释，再检查名单、角色、重复与限制。条件改变，乘法与除数都可能要重新推导。
计数不是概率模型；结果有多少种，并不能证明每种被选中的机会相同。可阅读独立事件与互斥事件，用第一个错误步骤记录法整理自己的推理。
这道题的完成条件
- 明确数的是小组还是角色分配。
- 身份不同，且没有重复入选。
- 能解释AB与BA是否相同。
- 能列出ABC的六种描述。
- 计数与是否等可能分开判断。
常见问题
“安排”一定是排列，“选择”一定是组合吗？
不一定。用交换是否改变结果判断，并核对角色、位置与限制；单个动词不定义结果。
为什么五人选三人也得到10？
选中三人的小组与未选中的两人一一对应。但仍应按三人对象和重数解释，不只照抄二人题答案。
十个小组是不是自动各有十分之一概率？
计数不自动证明抽样等可能。只有选取方式满足对应条件时，才能建立这样的概率模型。
